On Sun, Jun 28, 2009 at 1:37 AM, Mikael Vejdemo-Johansson <span dir="ltr"><<a href="mailto:mik@stanford.edu">mik@stanford.edu</a>></span> wrote:<br><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
<div class="im">-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----<br>
Hash: SHA1<br>
<br></div><div class="im">
On Jun 28, 2009, at 4:35 AM, Crutcher Dunnavant wrote:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
I find un-cited definitions un-compelling evidence.<br>
<br>
I'm perfectly willing to listen to argument, and read proofs. But for appeals to authority, I would like citation.<br>
<br>
As to the issue at hand, it seems trivial to say that injection abstracts to monomorphism and surjection abstracts to epimorphism. Awody's book (Category Theory) makes this claim on page 25. What I haven't seen anywhere, and I've looked, is a claim that it is incorrect to say that injection and surjection are synonyms for their more general concepts.<br>

<br>
Jason suggests that this is merely a cultural or political distinction.<br>
<br>
</blockquote>
<br></div>
I cannot recall having ever seen a textbook or article explicitly state that it is improper to use injection and surjection in the stead of monomorphism or epimorphism. I simply do not have a citation for a statement like that. There are simple examples, however, that indicate its impropriety.<br>

<br>
I have never ever seen injection and surjection used in a context that is not dealing with enriched sets (concrete categories). I could agree to call it a cultural distinction. But as such it is a very strong cultural distinction.<br>

<br>
As for appeals to authority - where did you feel I made that? I could probably dig up a citation or three for the definitions I've been issuing, but I don't have my full mathematics library around since I'm traveling all summer, and would have to spend time in the university library digging up a book that carries it. All the definitions I have been giving are quite standard - might even be on Wikipedia.</blockquote>
<div><br>I'm learning this material for the first time. This isn't a refresher for me, nor do I have a background in abstract algebra.<br><br>I'm not being pedantic, I simply can't accept un-sourced definitions. Its hard enough keeping up with the material I have attribution for, and working my way through.<br>
<br>But I'm going to keep at it, because there are specific things I'd like to apply this material to, and I need the background.<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
<br>
<br>
Actually, checking that, the idea that monomorphisms generalize injections but that the generalization is strictly larger than the initial concept, does get discussed on<br>
<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Monomorphism" target="_blank">http://en.wikipedia.org/wiki/Monomorphism</a><br>
where among other things, it is stated:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
It is not true in general, however, that all monomorphisms must be injective in other categories. For example, in the category Div of divisible abelian groups and group homomorphisms between them there are monomorphisms that are not injective: consider the quotient map q : Q $B"*(B Q/Z. This is clearly not an injective map; nevertheless, it is a monomorphism in this category.<br>

<br>
</blockquote>
<br>
Also, in Barr&Wells: Category theory for the computing science, it is given as an example the case of monoids and monoid homomorphisms, a category in which the inclusion map N -> Z is an epimorphism. This map, however, is not a surjection, so forms a counterexample to the corresponding claim - that surjection is an improper synonym for epimorphism.<br>

<br>
Is this more compelling, or would you need me to go visit the local university library?<div><div></div><div class="h5"><br>
</div></div></blockquote><div>So yes, these are more compelling arguments.<br><br>However, I have an objection I can't really defend (lacking enough category theory, or familiarity with either Div or monoids). You say that these maps are not injective or surjective; but I think one could argue that the definition of sur and injective you are familiar with is best kept within Set; and that these in fact _are_ sur and injective examples, in their categories. This would be consistent with other changes, such as "what is an object", or "what does composition mean".<br>
<br>But at this point, I really must concede. I simply don't know enough to continue this discussion.<br> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
<div><div class="h5"><br>
<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
On Jun 27, 2009, at 4:05 PM, d p chang wrote:<br>
<br>
> Mikael Vejdemo-Johansson <<a href="mailto:mik@stanford.edu" target="_blank">mik@stanford.edu</a>> writes:<br>
><br>
>> On Jun 27, 2009, at 12:11 AM, d p chang wrote:<br>
>>> Mikael Vejdemo-Johansson <<a href="mailto:mik@stanford.edu" target="_blank">mik@stanford.edu</a>> writes:<br>
>>>> For instance, the map (*2): Z -> Z is injective (prove it!) but not<br>
>>>> surjective (prove it!), and is an establishing map for why<br>
>>>> infinities<br>
>>>> are weird.<br>
>>><br>
>>> i'm not sure i have the 'notation' for reasoning/expressing that the<br>
>>> infinities are equal, but it seems like one of those questions i<br>
>>> associate w/ cantor and diagonals.<br>
>><br>
>> Define |S| <= |T| iff there exists an injection S -> T.<br>
>><br>
>> Also, define |S| = |T| iff there exists a bijection S -> T.<br>
>><br>
>> But still, we can fit |Z| elements within |Z| elements and still get<br>
>> gaps. This cannot happen for the finite case - any strict injection<br>
>> S -<br>
>> T (not a bijection) of finite sets is a proof that |S| < |T|, but<br>
>> it breaks for infinite sets.<br>
><br>
> thanks for that.<br>
><br>
> i'm still thinking about how (*2) over Z is injective. it seems like i<br>
> have to reason over the function itself.<br>
><br>
<br>
f is injective iff f(x) = f(y) implies x = y.<br>
<br>
Suppose 2n = 2m for n,m in Z. Can we conclude that n=m?<br>
<br>
Mikael Vejdemo-Johansson, Dr.rer.nat<br>
Postdoctoral researcher<br>
<a href="mailto:mik@math.stanford.edu" target="_blank">mik@math.stanford.edu</a><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----<br>
Version: GnuPG v2.0.10 (Darwin)<br>
<br>
iEYEARECAAYFAkpGS3sACgkQtUmpDMB8zM0L2wCgkAnVqSgkaINj0unHHCcITxYn<br>
4fYAn3bzXhMRtQHVXvaBsNeCc9gSRlBi<br>
=nSVt<br>
-----END PGP SIGNATURE-----<br>
_______________________________________________<br>
formal-methods mailing list<br>
<a href="mailto:formal-methods@lists.noisebridge.net" target="_blank">formal-methods@lists.noisebridge.net</a><br>
<a href="https://www.noisebridge.net/mailman/listinfo/formal-methods" target="_blank">https://www.noisebridge.net/mailman/listinfo/formal-methods</a><br>
<br>
<br>
<br>
-- <br>
Crutcher Dunnavant <<a href="mailto:crutcher@gmail.com" target="_blank">crutcher@gmail.com</a>><br>
</blockquote>
<br>
Mikael Vejdemo-Johansson, Dr.rer.nat<br>
Postdoctoral researcher<br>
<a href="mailto:mik@math.stanford.edu" target="_blank">mik@math.stanford.edu</a><br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----<br>
Version: GnuPG v2.0.10 (Darwin)<br>
<br></div></div>
iEYEARECAAYFAkpHK9wACgkQtUmpDMB8zM0BaQCfexW7pR3p85565UZ8LATE41ot<br>
oAQAnjHrgZh7tNwSEHhe2J1dFf4BnMV0<br>
=Tupk<br>
-----END PGP SIGNATURE-----<br>
</blockquote></div><br><br clear="all"><br>-- <br>Crutcher Dunnavant <<a href="mailto:crutcher@gmail.com">crutcher@gmail.com</a>><br>